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srupのメモ帳

競プロで解いた問題や勉強したことを記録していくメモ帳

yukicoder No.140 みんなで旅行

yukicoder dp 組み合わせ 要復習 数え上げ

問題

問題概要

省略。

解法

解説スライド見るとわかりやすい。

kmjp.hatenablog.jp

スターリング数は、S(n, k) 区別できるn個のものを区別できないkグループに分類する方法の場合の数を漸化式と表すことができる。
S(n, k) = s(n - 1, k - 1) + k * S(n - 1, k)
上のような漸化式で表せるので、動的計画法で、埋めていける。 これを利用した感じで、n組の夫婦をkグループに分ける方法の場合の数を考えると、
S[i][j] := i組の夫婦が同じグループに属し、合計jグループ作る場合の数を同様なスターリング数の漸化式を利用してdpで求めることができる。あとは、 n組の夫婦の中から、どのi組の夫婦を同じ組に入れるかの場合の数ををパスカルの3角形を利用して、nCiを求め、次に、別々でグループに入る残りのn-i組の夫婦がどのj組のグループに入るかの場合の数をpowmodを利用して、求めている。   スターリング数について

mathtrain.jp

ミス

難しい。

コード

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
const int mod = 1e9 + 7;

//スターリング数 S(n, k) 区別できるn個のものを区別できないkグループに分類する方法の場合の数
//S[i][j] := i組の夫婦が同じグループに属し、合計jグループ作る場合の数
ll S[600][600];
//com[i][j] := iCj
ll com[600][600];

//x^k mod
ll powmod(ll x, ll k, ll m){
    if(k == 0) return 1;
    if(k % 2 == 0) return powmod(x * x % m, k / 2, m);
    else return x * powmod(x, k - 1, m) % m;
}

int main(void){
    int n; cin >> n;

    S[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        for (int j = 1; j <= i; ++j){
            //スターリング数の漸化式
            S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + j * S[i - 1][j]) % mod;
        }
    }

    //combination
    com[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        for (int j = 0; j <= i; ++j){
            //パスカルの3角形
            if(j == 0) com[i][j] = com[i - 1][j] % mod;
            else com[i][j] = (com[i - 1][j] + com[i - 1][j - 1]) % mod;
        }
    }

    ll sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        for (int j = 1; j <= i; ++j){
            //夫婦が同じグループに入るi組の選び方と、残りのn- i組の夫婦の入れ方をかける
            sum += (com[n][i] * S[i][j]) % mod * powmod(j * (j - 1), n - i, mod) % mod;
            sum %= mod;
        }   
    }

    printf("%lld\n", sum % mod);
    return 0;
}