yukicoder No.140 みんなで旅行
問題概要
省略。
解法
解説スライド見るとわかりやすい。
スターリング数は、S(n, k) 区別できるn個のものを区別できないkグループに分類する方法の場合の数を漸化式と表すことができる。
S(n, k) = s(n - 1, k - 1) + k * S(n - 1, k)
上のような漸化式で表せるので、動的計画法で、埋めていける。
これを利用した感じで、n組の夫婦をkグループに分ける方法の場合の数を考えると、
S[i][j] := i組の夫婦が同じグループに属し、合計jグループ作る場合の数を同様なスターリング数の漸化式を利用してdpで求めることができる。あとは、
n組の夫婦の中から、どのi組の夫婦を同じ組に入れるかの場合の数ををパスカルの3角形を利用して、nCiを求め、次に、別々でグループに入る残りのn-i組の夫婦がどのj組のグループに入るかの場合の数をpowmodを利用して、求めている。
スターリング数について
ミス
難しい。
コード
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; typedef long long ll; #define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++) const int mod = 1e9 + 7; //スターリング数 S(n, k) 区別できるn個のものを区別できないkグループに分類する方法の場合の数 //S[i][j] := i組の夫婦が同じグループに属し、合計jグループ作る場合の数 ll S[600][600]; //com[i][j] := iCj ll com[600][600]; //x^k mod ll powmod(ll x, ll k, ll m){ if(k == 0) return 1; if(k % 2 == 0) return powmod(x * x % m, k / 2, m); else return x * powmod(x, k - 1, m) % m; } int main(void){ int n; cin >> n; S[0][0] = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i){ for (int j = 1; j <= i; ++j){ //スターリング数の漸化式 S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + j * S[i - 1][j]) % mod; } } //combination com[0][0] = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i){ for (int j = 0; j <= i; ++j){ //パスカルの3角形 if(j == 0) com[i][j] = com[i - 1][j] % mod; else com[i][j] = (com[i - 1][j] + com[i - 1][j - 1]) % mod; } } ll sum = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i){ for (int j = 1; j <= i; ++j){ //夫婦が同じグループに入るi組の選び方と、残りのn- i組の夫婦の入れ方をかける sum += (com[n][i] * S[i][j]) % mod * powmod(j * (j - 1), n - i, mod) % mod; sum %= mod; } } printf("%lld\n", sum % mod); return 0; }