yukicoder No.220 世界のなんとか2
問題概要
桁dpの問題
解法
dp[i][j][k][l]という配列を作りdpで埋めていく感じ。
整数pを考えた時に、i番目の桁まで考えて、j=1の時は考えている数がp未満であることが決定していて、j=0の時はp以下である。
k=1の時はすでにi番目までに数字3を含んでいて、k=0の時は含まれていない。 lはi番目の桁まで考えた時のmod3の値を示している。
このような情報でdpができるのは、新しく追加する数字は2通りの方法の場合分けで決めることができるから。
例えば、p=2のとき100以下の数で考えるとする。
(1)1桁目に1を選んだとき, (2)1桁目に0を選んだときで場合分けができる。
(1)の時、2桁目に入れることができるのは、0のみ。(2)の時、2桁目に入れられるのは0~9のどの数字でも入れることが可能である。
どうしてこのようになるかは(1)のときは、まだ100より小さな数字になることが決まっておらず、100以下にすることが可能であるという状況なので、2桁目は100の2桁目の0以下の数字を選ばなければならない。一方で、(2)のときは、すでに1桁目が0であることからすでに100未満の数字しか作ることができないので、0~9のどの数字を入れてもよい。
だからこの未満と以下のどちらであるのかの情報と、3を含んでいるのかと3の倍数であるのかの情報を持っておけばいい。3を含んでいるかは3を使ったかどうかだけを見ればよく、3の倍数判定はすべての桁の和が3の倍数であればその数も3の倍数となるので、和をmod3したもので判定できる。
以下のサイトが桁dpについてとてもわかりやすい解説をしています。
ミス
桁dpをしっかりとくのは初めて。
コード
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; #define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++) //dp[i][j][k][l] //整数pを考えた時に、i番目の桁まで考えて、j=1の時は考えている数がp未満であることが決定していて、j=0の時はp以下である。 //k=1の時はすでにi番目までに数字3を含んでいて、k=0の時は含まれていない。 lはi番目の桁まで考えた時のmod3の値 long long dp[30][2][2][3]; int main(void){ int p; cin >> p; dp[0][0][0][0] = 1; rep(i, p + 1){ rep(j, 2){ int lim; if(j == 1) lim = 9;//i桁目までですでに未満が決まっていればi+1桁目の数字は何でもよい else if(j == 0 && i == 0) lim = 1;//未満が決まっていなくても1ケタ目には1を入れる場合がある else lim = 0;//未満が決まっていなければ0しか入れられない rep(k, 2){ rep(l, 3){ rep(m, lim + 1){ dp[i + 1][j || m < lim][k || m == 3][(l + m) % 3] += dp[i][j][k][l]; } } } } } long long ans = 0; rep(j, 2) rep(k, 2) rep(l, 3){ if(k == 1|| l == 0){//3が含まれているまたは3の倍数 ans += dp[p + 1][j][k][l]; } } cout << ans - 1 << endl;//0も含んで考えてしまっているので、 -1 return 0; }