ABC 009 D - 漸化式
問題概要
与えられた漸化式によって導かれるM番目の値を求めよ.
解法
andとxorの演算は, (G, 和, 積) := ({1,0}, xor, and)とすると, 環をなしている. また, 行列の演算は半環であれば, 成り立つ. これらのことから, 通常の行列ライブラリの和をxorへ, 積をandへ置換しても, 行列演算が行える.
注意する点は, andの単位元は1ではなく, 全ての桁に1を用意しなければならないので, 0xffffffffなどとしている.
ミス
行列計算の単位元を1のままやっていた. andとxorはそれぞれの桁に対して行われる演算なので, すべての桁に1を入れておく必要がある.
コード
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; typedef vector<int> vint; typedef pair<int,int> pint; typedef vector<pint> vpint; #define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++) #define reps(i,f,n) for(int i=(f);i<(n);i++) #define each(it,v) for(__typeof((v).begin()) it=(v).begin();it!=(v).end();it++) #define all(v) (v).begin(),(v).end() #define pb push_back #define mp make_pair #define fi first #define se second #define chmax(a, b) a = (((a)<(b)) ? (b) : (a)) #define chmin(a, b) a = (((a)>(b)) ? (b) : (a)) const int MOD = 1e9 + 7; const ll INF = 1e9; const ll INFF = 1e18; // N*N行列Aを作りたい場合 mat A(N, vec(N)); typedef vector<long long> vec; typedef vector<vec> mat; // +->and *->xor mat mul(mat &A,mat &B){ // A * B の計算 mat C(A.size(), vec(B[0].size())); for(int i = 0; i < A.size(); i++){ for(int k = 0; k < B.size(); k++){ for(int j = 0; j < B[0].size(); j++){ C[i][j] = C[i][j] ^ (A[i][k] & B[k][j]); //演算子置き換え } } } return C; } mat pow(mat A, long long n){ // A^n の計算 mat B(A.size(), vec(A.size())); for(int i = 0; i < A.size(); i++){ B[i][i] = 0xffffffffffffffff; //単位元 全ての桁に1が必要 } while(n > 0){ if(n & 1) B = mul(B, A); A = mul(A, A); n >>= 1; } return B; } int main(void){ int K, M; long long A[110], C[110]; cin >> K >> M; rep(i, K) cin >> A[i]; rep(i, K) cin >> C[i]; if(M <= K) { cout << A[M - 1] << endl; return 0; } mat B(K, vec(K, 0)); rep(i, K) B[0][i] = C[i]; rep(i, K - 1) B[i + 1][i] = 0xffffffffffffffff; //単位元 全ての桁に1が必要 auto Bn = pow(B, M - K); mat A0(K, vec(1)); rep(i, K) A0[i][0] = A[K - 1 - i]; auto ret = mul(Bn, A0); printf("%lld\n", ret[0][0]); return 0; }