ARC 044 B - 最短路問題

問題

問題概要

A1をstartとした時の頂点までの最短経路の情報が与えられる. その木の高さで作ることのできるグラフは何通りあるか, mod1e9+7で答えろ.

解法

まず, A１からの最短経路の情報が与えられているはずなので, A1以外で最短経路が0であればそのようなグラフは作れない.
また, 最短経路は連続したものであるといえる. (最短経路が0, 1, 3のように与えらた場合, 2がないので, どのようにやってもグラフは作れない)
ではグラフが作れる条件を満たしている場合どのようにすれば場合の数が数え上げることができるかだが, まず最短経路が同じもの同士を繋いでも最短経路が変わることはないので, 同じ高さ同士のものは好きなようにつなぐことができる. 同じ高さの頂点を2つ選び方法は, sum[i] := 距離iの頂点個数として, sum[i] C 2 で求まり, その辺を使うか使わないかそれぞれ選ぶことができるので, pow(2, sum[i] C 2)通りあることになる.
次に距離の違うもの同士をどのように繋ぐかだが, まず, 距離の差が1より大きいものと繋いでしまうと, 最短経路の情報がずれてしまうのでダメ(1と 3をつなぐと最短経路3のものが最短経路2になってしまう)
よって距離i, i+1の場合を考えれば良いことになる. 距離i+1の頂点は, iの頂点のどれかと必ず繋がないと, グラフとつながっていないことになってしまうので, i のどれかと繋ぐようにする. i+1の頂点一つについて考えれば,
pow(2, sum[i]) - 1
となる. -1はどれも選ばないのをなくすため.
あとは, これをi+1の頂点全てについて考えれば良い.

ミス

考察段階でだいぶ悩んだ. 1つの辺をつけるかつけないかの2通りということを意識して考えていけば, もっとすんなりいけた?

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vint;
typedef pair<int,int> pint;
typedef vector<pint> vpint;
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define REP(i,n) for(int i=n-1;i>=(0);i--)
#define reps(i,f,n) for(int i=(f);i<(n);i++)
#define each(it,v) for(__typeof((v).begin()) it=(v).begin();it!=(v).end();it++)
#define all(v) (v).begin(),(v).end()
#define eall(v) unique(all(v), v.end())
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define chmax(a, b) a = (((a)<(b)) ? (b) : (a))
#define chmin(a, b) a = (((a)>(b)) ? (b) : (a))
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 1e9;
const ll INFF = 1e18;

ll n;
ll a[200010];
ll sum[200010];

//x^k mod
long long powmod(long long x, long long k, long long m){ // 繰り返し二乗法(logk)
    if(k == 0) return 1;
    if(k % 2 == 0) return powmod(x * x % m, k / 2, m);
    else return x * powmod(x, k - 1, m) % m;
}

int main(void){
    ll max_a = 0;
    cin >> n;
    rep(i, n){
        cin >> a[i];
        chmax(max_a, a[i]);
    }

    if(a[0] != 0){
        printf("0\n"); return 0;
    }
    reps(i, 1, n) if(a[i] == 0){
        printf("0\n"); return 0;
    }

    rep(i, n){
        sum[a[i]]++;
    }
    rep(i, max_a + 1){
        if(sum[i] == 0){ // グラフの高さにで飛んでいるものはない
            printf("0\n"); return 0;
        }
    }

    ll ans = 1;
    //同じ高さのものをつなぐ
    reps(i, 1, max_a + 1){
        //同じ高さの頂点を2つ選ぶ方法は, sum[i] C 2 通り
        ans *= powmod(2, sum[i] * (sum[i] - 1) / 2, MOD);
        ans %= MOD;
    }
    //下のやつと一つ上のやつをつなぐ 
    for (int i = max_a; i >= 1; --i){
        //任意の下のやつ1つに対して上のやつを選ぶか選ばないか (何も選ばないのはダメ)
        ll t = powmod(2, sum[i - 1], MOD) - 1;
        ans *= powmod(t, sum[i], MOD); //下の奴がsum[i]個あるので
        ans %= MOD;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}